中國數學發展史論文

劉 徽
劉徽(生于公元250年左右),是中國數學史上一個非常偉大的數學家,在世界數學史上,也占有杰出的地位.他的杰作《九章算術注》和《海島算經》,是我國最寶貴的數學遺產.

賈 憲
賈憲,中國古代北宋時期杰出的數學家。曾撰寫的《黃帝九章算法細草》(九卷)和《算法斆古集》(二卷)(斆xiào,意:數導)均已失傳。

他的主要貢獻是創造了"賈憲三角"和增乘開方法,增乘開方法即求高次冪的正根法。目前中學數學中的混合除法,其原理和程序均與此相仿,增乘開方法比傳統的方法整齊簡捷、又更程序化,所以在開高次方時,尤其顯出它的優越性,這個方法的提出要比歐洲數學家霍納的結論早七百多年。

秦九韶
秦九韶(約1202--1261),字道古,四川安岳人。先后在湖北,安徽,江蘇,浙江等地做官,1261年左右被貶至梅州,(今廣東梅縣),不久死于任所。他與李冶,楊輝,朱世杰并稱宋元數學四大家。早年在杭州“訪習于太史,又嘗從隱君子受數學”,1247年寫成著名的《數書九章》?!稊禃耪隆啡珪?8卷,81題,分為九大類。其最重要的數學成就----“大衍總數術”(一次同余組解法)與“正負開方術"(高次方程數值解法),使這部宋代算經在中世紀世界數學史上占有突出的地位。

李冶
李冶(1192----1279),原名李治,號敬齋,金代真定欒城人,曾任鈞州(今河南禹縣)知事,1232年鈞州被蒙古軍所破,遂隱居治學,被元世祖忽必烈聘為翰林學士,僅一年,便辭官回鄉。1248年撰成《測圓海鏡》,其主要目的是說明用天元術列方程的方法?!疤煸g”與現代代數中的列方程法相類似,“立天元一為某某”,相當于“設x為某某“,可以說是符號代數的嘗試。李冶還有另一步數學著作《益古演段》(1259)也是講解天元術的。

朱世杰
朱世杰(1300前后),字漢卿,號松庭,寓居燕山(今北京附近),“以數學名家周游湖海二十余年”,“踵門而學者云集”(莫若、祖頤:《四元玉鑒》后序)。朱世杰數學代表作有《算學啟蒙》(1299)和《四元玉鑒》(1303)?!端阈g啟蒙》是一部通俗數學名著,曾流傳海外,影響了朝鮮、日本數學的發展?!端脑耔b》則是中國宋元數學高峰的又一個標志,其中最杰出的數學創造有“四元術”(多元高次方程列式與消元解法)、“垛積術”(高階等差數列求和)與“招差術”(高次內插法).

祖沖之
祖沖之(公元429~500年)祖籍是現今河北省淶源縣,他是南北朝時代的一位杰出科學家。他不僅是一位數學家,同時還通曉天文歷法、機械制造、音樂等領域,并且是一位天文學家。

祖沖之在數學方面的主要成就是關于圓周率的計算,他算出的圓周率為3.1415926<π<3.1415927,這一結果的重要意義在于指出誤差的范圍,是當時世界最杰出的成就。祖沖之確定了兩個形式的π值,約率355/173(≈3.1415926)密率22/7(≈3.14),這兩個數都是π的漸近分數。

祖 暅
祖暅,祖沖之之子,同其父祖沖之一起圓滿解決了球面積的計算問題,得到正確的體積公式?,F行教材中著名的“祖暅原理”,在公元五世紀可謂祖暅對世界杰出的貢獻。

楊輝
楊輝,中國南宋時期杰出的數學家和數學教育家。在13世紀中葉活動于蘇杭一帶,其著作甚多。
他著名的數學書共五種二十一卷。著有《詳解九章算法》十二卷(1261年)、《日用算法》二卷(1262年)、《乘除通變本末》三卷(1274年)、《田畝比類乘除算法》二卷(1275年)、《續古摘奇算法》二卷(1275年)。
他在《續古摘奇算法》中介紹了各種形式的"縱橫圖"及有關的構造方法,同時"垛積術"是楊輝繼沈括"隙積術"后,關于高階等差級數的研究。楊輝在"纂類"中,將《九章算術》246個題目按解題方法由淺入深的順序,重新分為乘除、分率、合率、互換、二衰分、疊積、盈不足、方程、勾股等九類。

趙 爽
趙爽,三國時期東吳的數學家。曾注《周髀算經》,他所作的《周髀算經注》中有一篇《勾股圓方圖注》全文五百余字,并附有云幅插圖(已失傳),這篇注文簡練地總結了東漢時期勾股算術的重要成果,最早給出并證明了有關勾股弦三邊及其和、差關系的二十多個命題,他的證明主要是依據幾何圖形面積的換算關系。

趙爽還在《勾股圓方圖注》中推導出二次方程 (其中a>0,A>0)的求根公式 在《日高圖注》中利用幾何圖形面積關系,給出了"重差術"的證明。(漢代天文學家測量太陽高、遠的方法稱為重差術)。

明安圖】(1692——1765) 清代蒙古族杰出數學家、天文學家。字靜庵。蒙古正白旗(今內蒙古錫林郭勒盟正白旗)人,為蒙古族人??滴蹙拍?1670),被選入欽天監學習天文、歷象和數學中國數學發展史

中國古代是一個在世界上數學領先的國家,用近代科目來分類的話,可以看出無論在算術、代數、幾何和三角各方而都十分發達?,F在就讓我們來簡單回顧一下初等數學在中國發展的歷史。

(一)屬于算術方面的材料
大約在3000年以前中國已經知道自然數的四則運算,這些運算只是一些結果,被保存在古代的文字和典籍中。乘除的運算規則在后來的“孫子算經”(公元三世紀)內有了詳細的記載。中國古代是用籌來計數的,在我們古代人民的計數中,己利用了和我們現在相同的位率,用籌記數的方法是以縱的籌表示單位數、百位數、萬位數等;用橫的籌表示十位數、千位數等,在運算過程中也很明顯的表現出來?!皩O子算經”用十六字來表明它,“一從十橫,百立千僵,千十相望,萬百相當?!?
和其他古代國家一樣,乘法表的產生在中國也很早。乘法表中國古代叫九九,估計在2500年以前中國已有這個表,在那個時候人們便以九九來代表數學?,F在我們還能看到漢代遺留下來的木簡(公元前一世紀)上面寫有九九的乘法口訣。
現有的史料指出,中國古代數學書“九章算術”(約公元一世紀前后)的分數運算法則是世界上最早的文獻,“九章算術”的分數四則運算和現在我們所用的幾乎完全一樣。
古代學習算術也從量的衡量開始認識分數,“孫子算經”(公元三世紀)和“夏候陽算經”(公元六、七世紀)在論分數之前都開始講度量衡,“夏侯陽算經”卷上在敘述度量衡后又記著:“十乘加一等,百乘加二等,千乘加三等,萬乘加四等;十除退一等,百除退二等,千除退三等,萬除退四等?!边@種以十的方冪來表示位率無疑地也是中國最早發現的。
小數的記法,元朝(公元十三世紀)是用低一格來表示,如13.56作1356 。在算術中還應該提出由公元三世紀“孫子算經”的物不知數題發展到宋朝秦九韶(公元1247年)的大衍求一術,這就是中國剩余定理,相同的方法歐洲在十九世紀才進行研究。
宋朝楊輝所著的書中(公元1274年)有一個1—300以內的因數表,例如297用“三因加一損一”來代表,就是說297=3×11×9,(11=10十1叫加一,9=10—1叫損一)。楊輝還用“連身加”這名詞來說明201—300以內的質數。
(二)屬于代數方面的材料
從“九章算術”卷八說明方程以后,在數值代數的領域內中國一直保持了光輝的成就。
“九章算術”方程章首先解釋正負術是確切不移的,正象我們現在學習初等代數時從正負數的四則運算學起一樣,負數的出現便豐富了數的內容。
我們古代的方程在公元前一世紀的時候已有多元方程組、一元二次方程及不定方程幾種。一元二次方程是借用幾何圖形而得到證明。 不定方程的出現在二千多年前的中國是一個值得重視的課題,這比我們現在所熟知的希臘丟番圖方程要早三百多年。具有x3+px2+qx=A和x3+px2=A形式的三次方程,中國在公元七世紀的唐代王孝通“緝古算經”已有記載,用“從開立方除之”而求出數字解答(可惜原解法失傳了),不難想象王孝通得到這種解法時的愉快程度,他說誰能改動他著作內的一個字可酬以千金。
十一世紀的賈憲已發明了和霍納(1786—1837)方法相同的數字方程解法,我們也不能忘記十三世紀中國數學家秦九韶在這方面的偉大貢獻。
在世界數學史上對方程的原始記載有著不同的形式,但比較起來不得不推中國天元術的簡潔明了。四元術是天元術發展的必然產物。
級數是古老的東西,二千多年前的“周髀算經”和“九章算術”都談到算術級數和幾何級數。十四世紀初中國元代朱世杰的級數計算應給予很高的評價,他的有些工作歐洲在十八、九世紀的著作內才有記錄。十一世紀時代,中國已有完備的二項式系數表,并且還有這表的編制方法。
歷史文獻揭示出在計算中有名的盈不足術是由中國傳往歐洲的。
內插法的計算,中國可上溯到六世紀的劉焯,并且七世紀末的僧一行有不等間距的內插法計算。
十四世紀以前,屬于代數方面許多問題的研究,中國是先進國家之一。
就是到十八,九世紀由李銳(1773—1817),汪萊(1768—1813)到李善蘭(1811—1882),他們在這一方面的研究上也都發表了很多的名著。
(三)屬于幾何方面的材料
自明朝后期(十六世紀)歐幾里得“幾何原本”中文譯本一部分出版之前,中國的幾何早已在獨立發展著。應該重視古代的許多工藝品以及建筑工程、水利工程上的成就,其中蘊藏了豐富的幾何知識。
中國的幾何有悠久的歷史,可靠的記錄從公元前十五世紀談起,甲骨文內己有規和矩二個字,規是用來畫圓的,矩是用來畫方的。
漢代石刻中矩的形狀類似現在的直角三角形,大約在公元前二世紀左右,中國已記載了有名的勾股定理(勾股二個字的起源比較遲)。
圓和方的研究在古代中國幾何發展中占了重要位置。墨子對圓的定義是:“圓,一中同長也?!薄獋€中心到圓周相等的叫圓,這解釋要比歐幾里得還早一百多年。
在圓周率的計算上有劉歆(?一23)、張衡(78—139)、劉徽(263)、王蕃(219—257)、祖沖之(429—500)、趙友欽(公元十三世紀)等人,其中劉徽、祖沖之、趙友欽的方法和所得的結果舉世聞名。
祖沖之所得的結果π=355/133要比歐洲早一千多年。
在劉徽的“九章算術”注中曾多次顯露出他對極限概念的天才。 在平面幾何中用直角三角形或正方形和在立體幾何中用錐體和長方柱體進行移補,這構成中國古代幾何的特點。
中國數學家善于把代數上的成就運用到幾何上,而又用幾何圖形來證明代數,數值代數和直觀幾何有機的配合起來,在實踐中獲得良好的效果.
正好說明十八、九世紀中國數學家對割圓連比例的研究和項名達(1789—1850)用割圓連比例求出橢圓周長。這都是繼承古代方法加以發揮而得到的(當然吸收外來數學的精華也是必要的)。

(四)屬于三角方面的材料
三角學的發生由于測量,首先是天文學的發展而產生了球面三角,中國古代天文學很發達,因為要決定恒星的位置很早就有了球面測量的知識;平面測量術在“周牌算經”內已記載若用矩來測量高深遠近。

劉徽的割圓術以半徑為單位長求圓內正六邊形,十二二邊形等的每一邊長,這答數是和2sinA的值相符(A是圓心角的一半),以后公元十二世紀趙友欽用圓內正四邊形起算也同此理,我們可以從劉徽、趙友欽的計算中得出7.5o、15o、22.5o、30o、45o等的正弦函數值。

在古代歷法中有計算二十四個節氣的日晷影長,地面上直立一個八尺長的“表”,太陽光對這“表”在地面上的射影由于地球公轉而每一個節氣的影長都不同,這些影長和“八尺之表”的比,構成一個余切函數表(不過當時還沒有這個名稱)。

十三世紀的中國天文學家郭守敬(1231—1316)曾發現了球面三角上的三個公式。 現在我們所用三角函數名詞:正弦,余弦,正切,余切,正割,余割,這都是我國十六世紀已有的名稱,那時再加正矢和余矢二個函數叫做八線。

在十七世紀后期中國數學家梅文鼎(1633—1721)已編了一本平面三角和一本球面三角的書,平面三角的書名叫“平三角舉要”,包含下列內容:(1)三角函數的定義;(2)解直角三角形和斜三角形;(3)三角形求積,三角形內容圓和容方;(4)測量。這已經和現代平面三角的內容相差不遠,梅文鼎還著書講到三角上有名的積化和差公式。十八世紀以后,中國還出版了不少三角學方面的書籍。中國古代是一個在世界上數學領先的國家
大約在3000年以前中國已經知道自然數的四則運算,這些運算只是一些結果,被保存在古代的文字和典籍中。乘除的運算規則在后來的“孫子算經”(公元三世紀)內有了詳細的記載。中國古代是用籌來計數的,在我們古代人民的計數中,己利用了和我們現在相同的位率,用籌記數的方法是以縱的籌表示單位數、百位數、萬位數等;用橫的籌表示十位數、千位數等,在運算過程中也很明顯的表現出來?!皩O子算經”用十六字來表明它,“一從十橫,百立千僵,千十相望,萬百相當?!?
,“孫子算經”(公元三世紀)和“夏候陽算經”(公元六、七世紀)在論分數之前都開始講度量衡,“夏侯陽算經”卷上在敘述度量衡后又記著:“十乘加一等,百乘加二等,千乘加三等,萬乘加四等;十除退一等,百除退二等,千除退三等,萬除退四等?!边@種以十的方冪來表示位率無疑地也是中國最早發現的。
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